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open import LogicalFormulae
open import Lists.Lists
open import Setoids.Setoids
open import Functions
open import Functions.Definition
open import Sets.EquivalenceRelations
module Setoids.Lists where
listEquality : { a b : _} { A : Set a} ( S : Setoid { a} { b} A) → Rel { a} { b} ( List A)
listEquality S [] [] = True'
listEquality S [] ( x : : w2) = False'
listEquality S ( x : : w1) [] = False'
listEquality S ( x : : w1) ( y : : w2) = ( Setoid._∼ S x y) && listEquality S w1 w2
listEqualityReflexive : { a b : _} { A : Set a} ( S : Setoid { a} { b} A) ( w : List A) → listEquality S w w
Reflexive S [] = record { }
Reflexive S ( x : : w) = Equivalence.reflexive ( Setoid.eq S) ,, listEqualityReflexive S w
listEquality : { a b : _} { A : Set a} ( S : Setoid { a} { b} A) → Rel { a} { b} ( List A)
S [] []= True'
S [] ( x : : w2 ) = False'
S ( x : : w1) [] = False'
S ( x : : w1) ( y : : w2) = ( Setoid._∼ S x y) && listEquality S w1 w2
listEqualitySymmetric : { a b : _} { A : Set a} ( S : Setoid { a} { b} A) { w1 2 : List A} → listEquality S w1 w2 → listEquality S w2 w1
Symmetric S { w1 = []} { []} pr = record { }
Symmetric S { []} { x : : xs} ( )
listEqualitySymmetric S { x : : xs} { []} ( )
listEqualitySymmetric S { w1 = x : : w1} { y : : w2} ( pr1 ,, pr2) = Equivalence.symmetric ( Setoid.eq S) pr1 ,, listEqualitySymmetric S pr2
listEqualityReflexive : { a b : _} { A : Set a} ( S : Setoid { a} { b} A) ( : List A) → listEquality S w w
Reflexive S [] = record { }
Reflexive S ( x : : w) = Equivalence.reflexive ( Setoid.eq S) ,, listEqualityReflexive S w
listEqualityTransitive : { a b : _} { A : Set a} ( S : Setoid { a} { b} A) { w1 w2 w3 : List A} → listEquality S w1 w2 → listEquality S w2 w3 → listEquality S w1 w3
Transitive S { w1 = []} { []} { []} w1=w2 w2=w3 = record { }
Transitive S { w1 = []} { []} { x : : xs} w1=w2( )
Transitive S { w1 = []} { x : : xs} { w3 } ( ) w2=w3
Transitive S { w1 = x : : w1} { []} { w3} ( ) w2=w3
listEqualityTransitive S { w1 = x : : w1} { y : : ys} { []} w1=w2 ( )
listEqualityTransitive S { w1 = x : : w1} { y : : w2} { z : : w3} ( pr1 ,, pr2) ( pr3 ,, pr4) = Equivalence.transitive ( Setoid.eq S) pr1 pr3 ,, listEqualityTransitive S pr2 pr4
listEqualitySymmetric : { a b : _} { A : Set a} ( S : Setoid { a} { b} A) { w1 w2 : List A} → listEquality S w1 w2 → listEquality S w2 w1
Symmetric S { w1 = []} { []} pr = record { }
Symmetric S { []} { x : : xs} ( )
Symmetric S { x : : xs} { [] } ( )
Symmetric S { w1 = x : : w1} { y : : w2} ( pr1 ,, pr2) = Equivalence.symmetric ( Setoid.eq S) pr1 ,, listEqualitySymmetric S pr2
listEqualityRespectsMap : { a b c d : _} { A : Set a} { B : Set b} : Setoid { a} { c } A) ( T : Setoid { b} { d} B) ( f : A → B) ( fWD : { x y : A} → Setoid._∼ S x y → Setoid._∼ T ( f x) ( f y) ) → { w1 w2 : List A} ( w1=w2 : listEquality S w1 w2) → listEquality T ( map f w1) ( map f w2)
RespectsMap S T f fWD { []} { []} w1=w2 = record { }
RespectsMap S T f fWD { []} { x : : w2 } ( )
RespectsMap S T f fWD { x : : w1 } { [] } ( )
RespectsMap S T f fWD { x : : w1} { y : : w2} ( x=y ,, w1=w2) = fWD x=y ,, listEqualityRespectsMap S T f fWD { w1 } { w2} w1 =w2
listEqualityTransitive : { a b : _} { A : Set a} ( S : Setoid { a} { b } A) { w1 w2 w3 : List A} → listEquality S w1 w2 → listEquality S w2 w3 → listEquality S w1 w3
Transitive S { w1 = []} { []} { []} w1=w2 w2=w3= record { }
Transitive S { w1 = []} { []} { x : : xs } w1=w2( )
Transitive S { w1 = []} { x : : xs } { w3 } ( ) w2=w3
Transitive S { w1 = x : : w1} { []} { w3 } ( ) w2 =w3
S { w1 = x : : w1} { y : : ys} { []} w1=w2 ( )
S { w1 = x : : w1} { y : : w2} { z : : w3} ( pr1 ,, pr2) ( pr3 ,, pr4) = Equivalence.transitive ( Setoid.eq S) pr1 pr3 ,, listEqualityTransitive S pr2 pr4
listSetoid : { a b : _} { A : Set a} ( S : Setoid { a} { b} A) → Setoid ( List A )
Setoid._∼ ( listSetoid S) word1 word2 = listEquality S w ord1 word2
Equivalence.reflexive ( Setoid.eq ( listSetoid S) ) { word} = listEqualityReflexive S word
Equivalence.symmetric ( Setoid.eq ( listSetoid S) ) pr = listEqualitySymmetric S pr
Equivalence.transitive ( Setoid.eq ( listSetoid S) ) pr1 pr2 = listEqualityTransitive S pr1 pr
listEqualityRespectsMap : { a b c d : _} { A : Set a} { B : Set b} : Setoid { a} { c} A) ( T : Setoid { b} { d} B) ( f : A → B) ( fWD : { x y : A} → Setoid._∼ S x y → Setoid._∼ T ( f x) ( f y) ) → { w1 w2 : List A} ( w1=w2 : listEquality S w1 w2) → listEquality T ( map f w1) ( map f w2 )
listEqualityRespectsMap S T f fWD { []} { []} w1=w2 = rec ord { }
listEqualityRespectsMap S T f fWD { []} { x : : w2} ( )
listEqualityRespectsMap S T f fWD { x : : w1} { []} ( )
listEqualityRespectsMap S T f fWD { x : : w1} { y : : w2} ( x=y ,, w1=w2) = fWD x=y ,, listEqualityRespectsMap S T f fWD { w1} { w2} w1=w 2
consWellDefine d : { a b : _} { A : Set a} { : Setoid { a} { b} A} ( xs : List A) { x y : A} ( x=y : Setoid._∼ S x y → Setoid._∼ ( l istSetoid S) ( x : : xs) ( y : : xs )
consWellDefined { S = S} xs x=y = x=y ,, Equivalence.reflexive ( Setoid.eq ( listSetoid S) )
listSetoi d : { a b : _} { A : Set a} ( : Setoid { a} { b} A) → Setoid ( L ist A)
Setoid._∼ ( listSetoid S) word1 word2 = listEquality S word1 word2
( Setoid.eq ( listSetoid S) ) { word} = listEqualityReflexive S word
( Setoid.eq ( listSetoid S) ) pr = listEqualitySymmetric S pr
( Setoid.eq ( listSetoid S) ) pr1 pr2 = listEqualityTransitive S pr1 pr2
append WellDefined : { a b : _} { A : Set a} { S : Setoid { a} { b} A} { as bs : List A} ( s=as : Setoid._∼ ( listSetoid S) xs as) → ( ys=bs : Setoid._∼ ( listSetoid S) ys bs) → Setoid._∼ ( listSetoid S) ( xs ++ y s) ( as ++ b s)
append { S = S} { []} { []} { []} { []} record { } record { } = record { }
appendWellDefined { S = S} { []} { []} { []} { x : : bs} record { } ( )
{ S = S } { [] } { x : : ys} { [] } { []} record { } ys=bs = ys=bs
{ S = S} { []} { x : : ys } { []} { x₁ : : bs } record { } ys=bs = ys=bs
{ S = S} { []} { ys } { x : : a s} { bs } ( ) ys=bs
{ S = S} { x : : x s} { ys } { []} { bs } ( ) ys=bs
{ S = S} { x : : x s} { []} { x₁ : : a s} { []} xs=asrecord { } = _&&_.fst xs=as ,, identityOfIndiscernablesRight ( listEquality S) ( identityOfIndiscernablesLeft ( listEquality S) ( _&&_.snd xs=as) ( equalityCommutative ( appendEmptyList xs) ) ) ( equalityCommutative ( appendEmptyList as) )
{ S = S} { x : : xs } { [] } { x₁ : : as} { x₂ : : bs} xs=as ( )
{ S = S} { x : : xs} { x₂ : : ys} { x₁ : : a s} { []} x s=a s ( )
{ S = S} { x : : xs} { x₂ : : ys } { x₁ : : as} { x₃ : : bs } ( fst ,, snd) ys=bs = fst ,, appendWellDefined snd ys=bs
cons WellDefined : { a b : _} { A : Set a} { S : Setoid { a} { b} A} ( : List A) { y : A} ( x=y : Setoid._∼ S x y ) → Setoid._∼ ( listSetoid S) ( x : : x s) ( y : : x s)
cons WellDefined { S = S} xs x=y = x=y ,, Equivalence.reflexive ( Setoid.eq ( listSetoid S) )
: { a b : _ } { A : Set a } { S : Setoid { a} { b} A } { xs ys as bs : List A} ( xs=as : Setoid._∼ ( listSetoid S) xs as) → ( ys=bs : Setoid._∼ ( listSetoid S) ys bs) → Setoid._∼ ( listSetoid S) ( xs ++ ys) ( as ++ bs)
{ S = S} { []} { [] } { []} { []} record { } record { } = record { }
{ S = S} { []} { []} { [] } { x : : b s} record { } ( )
{ S = S} { []} { x : : y s} { [] } { []} record { } ys=bs = ys=bs
{ S = S} { []} { x : : y s} { []} { x₁ : : b s} record { } ys=bs = ys=bs
{ S = S} { [] } { ys } { x : : as} { bs} ( ) ys=bs
{ S = S} { x : : xs} { ys} { []} { b s} ( ) y s=b s
{ S = S} { x : : xs} { [] } { x₁ : : as} { []} xs=as record { } = _&&_.fst xs=as ,, identityOfIndiscernablesRight ( listEquality S) ( identityOfIndiscernablesLeft ( listEquality S) ( _&&_.snd xs=as) ( equalityCommutative ( appendEmptyList xs) ) ) ( equalityCommutative ( appendEmptyList as) )
{ S = S} { x : : xs} { []} { x₁ : : as} { x₂ : : bs} xs=as ( )
{ S = S} { x : : xs} { x₂ : : ys} { x₁ : : as} { []} xs=as ( )
{ S = S} { x : : xs} { x₂ : : ys} { x₁ : : as} { x₃ : : bs} ( fst ,, snd) ys=bs = fst ,, appendWellDefined snd ys=bs
Patrick Stevens
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